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quasi-periodically forced logistic map †

\[ \left \{ \begin{array}{rcl} \theta_{n+1} &=& \theta_n + \omega \quad (\mbox{mod 1})\cr x_{n+1} &=& a - x_n^2 + \epsilon \cos(2\pi\theta_n) \end{array} \right. \]

with $ \omega = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $

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相図（$ a $-$ \epsilon $) †

$DIAGRAM-fractalize.png$

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εの変化に伴う分岐 †

$ a=0.75 $ の線上で $ \epsilon $ を増加させてみる。

分岐が起こるパラメータは

$ \epsilon_s $ (Torus $ \rightarrow $ SNA) : 0.4667138...

$ \epsilon_c $ (SNA $ \rightarrow $ chaos) : 0.4721...

$ \epsilon_x $ (chaos $ \rightarrow $ void) : 0.602...

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実空間上でのアトラクターと、それを囲むカオス的不変集合の出現 †

RealMovE_AttrOnly.mp4(5.9M)

RealMovE_AttrEnv.mp4(5.4M)

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εの変化に伴う「$ \infty $のベーシン」の浸蝕($ \theta=0 $ fixed, $ Z_rZ_i $ 平面) †

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「$ \infty $のベーシン」の構造（$ Z_rZ_i $断面の像を $ \theta $ を動かして見た動画) †

$ a=0.75 $, $ \epsilon=0.01 $ 3Dstruct_E0010.mp4(0.2M) (複素２次写像系の Julia 集合の形を少しだけ変形させたもののように見える）

$ a=0.75 $, $ \epsilon=0.30 $ 3Dstruct_E0300.mp4(0.5M) (ここらへんから変形はだいぶ大きくなって、”原形”をとどめなくなってくる）

$ a=0.75 $, $ \epsilon=0.45 $ 3Dstruct_E0450.mp4(2.2M)　（実空間への接触が近くなると動きがどんどん激しくなる）

$ a=0.75 $, $ \epsilon=0.47 $ 3Dstruct_E0470.mp4(3.7M)　（実空間への接触とともに riddled basin 化が起こると考えられる）

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実空間への接触が起こる付近の拡大図 †

3DstructZoom_E0450.mp4(26.8M)

3DstructZoom_E0460.mp4(36.3M)

3DstructZoom_E0466.mp4(58.5M)

3DstructZoom_E0467.mp4(66.4M)

3DstructZoom_E0468.mp4(64.0M)

3DstructZoom_E0470.mp4(65.0M)

3DstructZoom_E0475.mp4(103.0M)

quasi-periodically forced logistic map †

相図（\( a \)-\( \epsilon \)) †

εの変化に伴う分岐 †

実空間上でのアトラクターと、それを囲むカオス的不変集合の出現 †

εの変化に伴う「\( \infty \)のベーシン」の浸蝕(\( \theta=0 \) fixed, \( Z_rZ_i \) 平面) †

無摂動からアトラクターが完全に壊れるまで(from \( \epsilon =0 \) to \( \epsilon = 0.65 \)) †

torus から SNA に変化するあたりの拡大図 (from \( \epsilon=0.30 \) to \( \epsilon=0.50 \)) †

torus から SNA に変化するあたりの拡大図２ (from \( \epsilon=0.45 \) to \( \epsilon=0.475 \)) †

「\( \infty \)のベーシン」の構造（\( Z_rZ_i \)断面の像を \( \theta \) を動かして見た動画) †

実空間への接触が起こる付近の拡大図 †